Question

（2013•丹東一模）如圖，AB是⊙O的直徑，OD∥BC，∠A=30°，CD=2．
求：（1）弦BC的長(zhǎng)；
    （2）圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，再由OD∥BC得∠ADO=90°，則根據(jù)垂徑定理得到AD=DC=2，即AC=4，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出BC；
（2）先得到OD=

1

2

BC=

2 3

3

，再計(jì)算出半徑，然后根據(jù)扇形面積公式和陰影部分的面積=S_扇形OAC-S_△OAC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AD=DC=2，
∴AC=4，
∵∠A=30°，
∴BC=

3

3

AC=

4 3

3

；

（2）連結(jié)OC，如圖，
∵OD為△ACB的中位線，
∴OD=

1

2

BC=

2 3

3

，
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴OC=BC=

4 3

3

，∠AOC=2∠B=120°，
∴陰影部分的面積=S_扇形OAC-S_△OAC
=

120•π•( 4 3 3 )2

360

-

1

2

×4×

2 3

3

=

16π

9

-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理、扇形的面積公式以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．