Question

已知：⊙O的半徑為3，OC⊥弦AB，垂足為D，點E在⊙O上，∠ECO=∠BOC，射線CECE與射線OB相交于點F．設(shè)AB=x，CE=y
（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）當△OEF為直角三角形時，求AB的長；
（3）如果BF=1，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）過點O作OH⊥CE，垂足為H．在圓O中，根據(jù)垂徑定理可得BD=

1

2

AB=

1

2

x，EH=

1

2

EC=

1

2

y，在Rt△ODB中，根據(jù)勾股定理可得OD=

36-x2

2

，通過AAS證明△ODB≌△EHO，由全等三角形的性質(zhì)得到EH=OD，依此可得y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）當△OEF為直角三角形時，存在以下兩種情況：①若∠OFE=90°，證明△OAB是等腰直角三角形，求得AB的長；②若∠EOF=90°，證明△OAB是等邊三角形，求得AB的長；
（3）分兩種情況：①當CF=OF=OB-BF=2時，可得：△CFO∽△COE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE=

OC2

CF

=

9

2

，則EF=CE-CF可求；②當CF=OF=OB+BF=4時，可得：△CFO∽△COE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE=

OC2

CF

=

9

4

，則EF=CF-CE可求．

解答：解：（1）過點O作OH⊥CE，垂足為H．
∵在圓O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

x，EH=

1

2

EC=

1

2

y，
∵在Rt△ODB中，OD²+BD²=BO²，OB=3，
∴OD=

36-x2

2

，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO=∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB，
在△ODB與△EHO中，

∠ODB=∠OHE=90° ∠CEO=∠BOC OE=OB

，
∴△ODB≌△EHO（AAS），
∴EH=OD，
∴

y

2

=

36-x2

2

，
∴y=

36-x2

，函數(shù)定義域為0＜x＜6；

（2）當△OEF為直角三角形時，存在以下兩種情況：
①若∠OFE=90°，則∠COF=∠OCF=45°
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=

2

•OB=3

2

；
②若∠EOF=90°，則∠OEF=∠COF=∠OCF=30°，
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OB=3；

（3）①當CF=OF=OB-BF=2時，
可得：△CFO∽△COE，CE=

OC2

CF

=

9

2

，
則EF=CE-CF=

9

2

-2=

5

2

；
②當CF=OF=OB+BF=4時，
可得：△CFO∽△COE，CE=

OC2

CF

=

9

4

，
則EF=CF-CE=4-

9

4

=

7

4

．

點評：考查了圓的綜合題，涉及的知識點有：垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．