Question

已知：⊙O的半徑長為5，點A、B、C在⊙O上，AB=BC=6，點E在射線BC上．
（1）如圖1，聯(lián)結(jié)AE、CE，求證：AE=CE；
（2）如圖2，以點C為圓心，CO為半徑畫弧交半徑OB于D，求BD的長．
（3）當(dāng)OE=

11

5

時，求線段AE的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）證明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，由AB=BC，根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系OF=OH，根據(jù)角平分線的判定得到BE平分∠ABC，然后利用“SAS”可判斷△ABE≌△CBE，則AE=CE；
（2）作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，由OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BM=CM=

1

2

BC=3，在Rt△BMO中，根據(jù)勾股定理計算出OM=4，在利用面積法計算出CN=

24

5

，
在Rt△OCN中利用勾股定理計算出ON=

7

5

，由CD=CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得ON=DN，則BD=OB-2ON=

11

5

；
（3）作CN⊥BE于N，由（2）得CN=

24

5

，ON=

7

5

，分類討論：當(dāng)E在OB的延長線上，NE=ON+OE=

18

5

，在Rt△CEN中，根據(jù)勾股定理計算出CE=6；當(dāng)E在OB上，即OE′=

11

5

，NE′=OE′-ON=

4

5

，在Rt△CE′N中，根據(jù)勾股定理計算出CE′=

4 37

5

，即CE的長為6或

4 37

5

，由于AE=CE，所以AE的長為6或

4 37

5

．

解答：（1）證明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，如圖1，
∵AB=BC，
∴OF=OH，
∴BE平分∠ABC，
在△ABE和△CBE中

AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE

，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；
（2）解：作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，如圖2，
∵OB=OC，
∴BM=CM=

1

2

BC=3，
在Rt△BMO中，OB=5，BM=3，
∴OM=

OB2-BM2

=4，
∵

1

2

OM•BC=

1

2

CN•OB，
∴CN=

4×6

5

=

24

5

，
在Rt△OCN中，OC=5，
∴ON=

OC2-CN2

=

7

5

，
∵CO=CD，
∴ON=DN，
∴BD=OB-2ON=5-2×

7

5

=

11

5

；
（3）解：作CN⊥BE于N，如圖，
由（2）得CN=

24

5

，ON=

7

5

，
當(dāng)E在OB的延長線上，NE=ON+OE=

7

5

+

11

5

=

18

5

，
在Rt△CEN中，CE=

NE2+CN2

=

( 18 5 )2+( 24 5 )2

=6；
當(dāng)E在OB上，即OE′=

11

5

，NE′=OE′-ON=

11

5

-

7

5

=

4

5

，
在Rt△CE′N中，CE′=

NE′2+CN2

=

( 4 5 )2+( 24 5 )2

=

4 37

5

，
∴CE的長為6或

4 37

5

，
∵AE=CE，
∴AE的長為6或

4 37

5

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系和三角形全等的判定與性質(zhì)；也考查了分類討論的思想和勾股定理．