Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，過D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，垂足為F．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=5，AC=8時(shí)，求cos∠E的值．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD，BD ∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC；
∵AB=BC，
∴AD=DC；
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直線DE是⊙O的切線．
（2）解：作DH⊥AB，垂足為H，則∠EDH+∠E=90°，
又DE⊥OD，
∴∠ODH+∠EDH=90°．
∴∠E=∠ODH．
∵AD=DC，AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD= =3，
由三角形面積公式得：AB·DH=DA·DB．
即5·DH=3×4，DH= ．
在Rt△ODH中，cos∠ODH= = ，
∴cos∠E= ．