Question

8．如圖，AC=10，∠BAC=30°，∠ABC=45°，將△ABC繞AM旋轉(zhuǎn)一周，可得到一個(gè)立體圖形，求該立體圖形的表面積．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CH=$\frac{1}{2}$AC=5，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BC=$\sqrt{2}$CH=5$\sqrt{2}$，由于△ABC繞AM旋轉(zhuǎn)一周，可得到共底面圓的兩個(gè)圓錐組成的幾何體，CH為底面圓的半徑，AC和BC為母線，于是利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式計(jì)算兩個(gè)圓錐的側(cè)面積的和即可．

解答 解：作CH⊥AB于H，如圖，
在Rt△ACH中，∵∠BAC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5，
在Rt△BCH中，∵∠ABC=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$CH=5$\sqrt{2}$，
∵△ABC繞AM旋轉(zhuǎn)一周，可得到以CH為底面圓的半徑，AC和BC為母線的兩個(gè)圓錐所組成的立體圖形，
∴該立體圖形的表面積=$\frac{1}{2}$•2π•5•10+$\frac{1}{2}$•2π•5•5$\sqrt{2}$=50π+25$\sqrt{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．