Question

5．探究題
如圖是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角”．它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角”中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了（a+b）ⁿ（n為非負整數(shù)）的展開式中按a次冪從大到小排列的項的系數(shù)．規(guī)定任何非零數(shù)的零次冪為1，如（a+b）⁰=1
例如，（a+b）¹=a+b展開式中的系數(shù)1、1恰好對應(yīng)圖中第二行的數(shù)字；
（a+b）²=a²+2ab+b²展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字．
（1）請認真觀察此圖，寫出（a+b）⁴的展開：（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
（2）請你探索第9行正中間的數(shù)字70．
（3）探究解決問題：已知a+b=3，a²+b²=5，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知圖形得出即可．
（2）第一行有1個數(shù)，第二行有2個數(shù)，那么第9行就有9個數(shù)，偶數(shù)行中間的兩個數(shù)是相等的．第九行正中間的數(shù)應(yīng)是第九行的第5個數(shù)．應(yīng)該=第8行第4個數(shù)+第8行第5個數(shù)=2×第8行第4個數(shù)=2×（第7行第3個數(shù)+第7行第4個數(shù)）=2×[（第6行第2個數(shù)+第6行第3個數(shù)）+（第6行第3個數(shù)+第6行第4個數(shù)）]=2×（第6行第2個數(shù)+2第6行第3個數(shù)+第6行第4個數(shù)）=2×[5+2×（第5行第2個數(shù)+第5行第3個數(shù)）+（第5行第3個數(shù)+第5行第4個數(shù)）]=2×[5+2×（4+6）+6+4]=70；
（3）根據(jù)完全平方公式展開，代入求出即可．

解答 解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，
故答案為：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；

（2）2×[5+2×（4+6）+6+4]=70，
故答案為：70；

（3）（a+b）²=a²+b²+2ab，
∵a+b=3，a²+b²=5，
∴9=5+2ab，
∴ab=2

點評 本題考查了對完全平方公式的應(yīng)用，楊輝三角最本質(zhì)的特征是：它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和．