Question

2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）證明：四邊形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證明即可判定．
（2）先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再證明DA=DC即可．
（3）利用S_菱形ADCF=2S_△ADC=S_△ABC即可求解．

解答 （1）證明：∵AF∥BD，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD中點(diǎn)，
∴AE=ED，
在△BDE和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠BED}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE．
（2）證明：連接CF．
∵△AFE≌△DBE，
∴AF=BD
∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD=DC=DB，
∴AF∥CD，AF=DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵DA=CD，
∴四邊形ADCF是菱形．
（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=10，
∵四邊形ADCF是菱形，BD=DC，S_△ABC=2S_△ADC，
∴S_菱形ADCF=2S_△ADC=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是記住菱形、全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型．