Question

如圖，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點． 如圖，若整個△EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移．設(shè)運動時間為x（s），F(xiàn)G的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2）（不考慮點P與G、F重合的情況）．

（1）當x為何值時，OP∥AC； （2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍； （3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．（參考數(shù)據(jù)：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）

Answer 1

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ∴， ∴FG==3cm ∵當P為FG的中點時，OP∥EG，EG∥AC ∴OP∥AC ∴x==×3=1.5（s） ∴當x為1.5s時，OP∥AC． （2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm ∵EG∥AH ∴△EFG∽△AFH ∴ ∴AH=（x+5），F(xiàn)H=（x+5） 過點O作OD⊥FP，垂足為D ∵點O為EF中點 ∴OD=EG=2cm ∵FP=3﹣x ∴S四邊形OAHP=S△AFH﹣S△OFP =AHFH﹣ODFP =（x+5）（x+5）﹣×2×（3﹣x） =x2+x+3（0＜x＜3）． （3）假設(shè)存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24 則S四邊形OAHP=×S△ABC ∴x2+x+3=××6×8 ∴6x2+85x﹣250=0 解得x1=，x2=﹣（舍去） ∵0＜x＜3 ∴當x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．