Question

已知二次函數(shù)y＝x²－(m²－2)x－2m的圖象與x軸交于點A(x₁，0)和點B(x₂，0)，x₁＜x₂，與y軸交于點C，且滿足＋＝．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)探究：在直線y＝x＋3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)欲求拋物線的解析式，關(guān)鍵是求得m的值．根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問題得到解決．注意：解答中求得兩個m的值，需要進行檢驗，把不符合題意的m值舍去； 　　(2)利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點的縱坐標，進而得到P點的橫坐標，從而求得P點坐標． 　　解答：解：(1)∵二次函數(shù)y＝x2－(m2－2)x－2m的圖象與x軸交于點A(x1，0)和點B(x2，0)，x1＜x2， 　　令y＝0，即x2－(m2－2)x－2m＝0①，則有： 　　x1＋x2＝m2－2，x1x2＝－2m． 　　∴＝＝＝， 　　化簡得到：m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1． 　　當m＝－2時，方程①為：x2－2x＋4＝0，其判別式Δ＝b2－4ac＝－12＜0，此時拋物線與x軸沒有交點，不符合題意，舍去； 　　當m＝1時，方程①為：x2＋x－2＝0，其判別式Δ＝b2－4ac＝9＞0，此時拋物線與x軸有兩個不同的交點，符合題意． 　　∴m＝1， 　　∴拋物線的解析式為y＝x2＋x－2． 　　(2)假設(shè)在直線y＝x＋3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形． 　　如圖所示，連接PA．PB．AC．BC，過點P作PD⊥x軸于D點． 　　∵拋物線y＝x2＋x－2與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點， 　　∴A(－2，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴OB＝1，OC＝2． 　　∵PACB為平行四邊形，∴PA∥BC，PA＝BC， 　　∴∠PAD＝∠CBO，∴∠APD＝∠OCB． 　　在Rt△PAD與Rt△CBO中， 　　∵， 　　∴Rt△PAD≌Rt△CBO， 　　∴PD＝OC＝2，即yP＝2， 　　∴直線解析式為y＝x＋3， 　　∴xP＝－1， 　　∴P(－1，2)． 　　所以在直線y＝x＋3上存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點坐標為(－1，2)． 　　點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與x軸的交點、一元二次方程根的解法及根與系數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等方面的知識，涉及的考點較多，有一定的難度．

提示：

考點：二次函數(shù)綜合題．