Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）作DH⊥BC交BC的延長線于點H，連接CD，試判斷線段AE與線段CH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）若BC=4，AB=6，試求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）連接AD，證明△ADE≌△CDH即可；
（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可證得BE=BH，結(jié)合BC和AB的長可求出AE．

解答：解：（1）如右圖所示，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線；
（2）AE=CH，理由如下：
連接AD，

∵D是

AC

的中點，
∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，
∵DE⊥AB，DH⊥BC，
∴AD=DC，且∠AED=∠DHC，
在Rt△ADE和Rt△CDH中，

AD=CD DE=CD

，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴AE=CH；
（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，
在△RtDBH和Rt△DBE中，

DH=DE BD=BD

，
∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），
∴BE=BH，
∴BA-AE=BC+CH，且AE=CH，
∴BA-AE=BC+AE，
又∵AB=6，BC=4，
∴6-AE=4+AE，
∴AE=1．

點評：本題主要考查切線的判定及圓周角定理等知識的綜合運用，注意證明切線的兩種思路，已知切點時可證明垂直，沒有切點時可作垂直證明距離等于半徑．