Question

如圖，AB為⊙O直徑，弦CD⊥AB于E，弦CF⊥AD于H交AB于G，下列結(jié)論：①BE=EG，②DF+HF=CH，③，其中正確結(jié)論的個數(shù)有

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

D
分析：由CD⊥AB，CF⊥AD得到∠GED=∠GHD=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理和鄰補角的定義可得到∠4=∠ADE，利用圓周角定理得到∠5=∠ADE，則∠5=∠4，可判斷△CBG為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BE=GE；再根據(jù)垂徑定理得由CD⊥AB得BC弧=BD弧，CE=DE，則BD=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠ECB，得DF弧=DB弧，則有DB=DF，即CG=CB=BD=DF，利用垂徑定理得到AB垂直平分CD，則GC=GD，代換得DG=DF，由CF⊥AD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得HF=HG，則DF+HF=CG+GH=CH；根據(jù)垂徑定理易得=，則+=+=+2，由BC=BD=DF得到==，即=2，于是．
解答：連接DG、BC，如圖
∵CD⊥AB，CF⊥AD，
∴∠GED=∠GHD=90°，
∴∠4=∠ADE，
而∠5=∠ADE，
∴∠5=∠4，
∴CB=CG，即△CBG為等腰三角形，
而CE⊥GB，
∴BE=GE，所以①正確；
∵CD⊥AB，
∴BC弧=BD弧，CE=DE，
∴BD=BC，
∵CE為等腰三角形CBG的底邊上的高，
∴∠1=∠ECB，
∴DF弧=DB弧，
∴DB=DF，
∴CG=CB=BD=DF，
∵AB垂直平分CD，
∴GC=GD，
∴DG=DF，
而CF⊥AD，
∴HF=HG，
∴DF+HF=CG+GH=CH，所以②正確；
∵CD⊥AB，
∴=，
∴+=+=+2，
∵BC=BD=DF，
∴==，即=2，
∴，所以③正確．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半．也考查了垂徑定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)．