Question

已知：拋物線y=x²+（a-2）x-2a（a為常數(shù)，且a>0）。
（1）求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B（A在B左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，
①當(dāng)AC=2時(shí)，求拋物線的解析式；
②將①中的拋物線沿x軸正方向平移t個(gè)單位（t>0），同時(shí)將直線l：y=3x沿y軸正方向平移t個(gè)單位，平移后的直線為l′，移動(dòng)后A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，當(dāng)t為何值時(shí)，在直線l′上存在點(diǎn)P，使得△A′B′P為以A′B′為直角邊的等腰直角三角形？

Answer 1

解：（1）令y=0，則x²+（a-2）x-2a =0，
△=（a-2）²+8a=（a+2）²，
∵a>0，
∴a+2>0，
∴△>0，
∴方程x²+（a-2）x-2a=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：①令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a，
∵A在B左側(cè)，且a>0，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（-a，0），B（2，0），
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，
∴C（0，-2a），
∴AO=a，CO=2a，
在Rt△AOC中，AO²+ CO²=（2）²
a²+（2a）²=20，
可得a=±2，
∵a>0，
∴a=2，
∴拋物線的解析式為y=x²-4，
②依題意，可得直線l′的解析式為y=3x+t，
A′（t-2，0），B′（t+2，0），A′B′=AB=4，
∵△A′B′P為以A′B′為直角邊的等腰直角三角形，
∴當(dāng)∠PA′B′=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t-2，4）或（t-2，-4）
∴，
解得t=5/2或t=1/2，
當(dāng)∠PB′A′=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t+2，4）或（t+2，-4）
∴，
解得t=-5/2或t=-1/2（不合題意，舍去），
綜上所述，t=5/2或t=1/2。