Question

9．一張半徑為R的半圓圖紙沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，O為半圓圓心，如果切點(diǎn)分直徑之比為3：2，則折痕長為$\frac{\sqrt{74}}{5}$R．

Answer 1

分析 如圖，作O點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′為弧ADB所在圓的圓心，連結(jié)O′D，則O′D⊥EF，O′D=R，先利用ED：DF=3：2計(jì)算出DF=$\frac{2}{5}$•2R=$\frac{4}{5}$R，則OD=$\frac{1}{5}$R，再在Rt△O′OD中利用勾股定理計(jì)算出O′=$\frac{\sqrt{26}}{5}$R，則OC=$\frac{1}{2}$O′O=$\frac{\sqrt{26}}{10}$R，然后在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=$\frac{\sqrt{74}}{10}$R，再利用垂徑定理可得AB=2AC=$\frac{\sqrt{74}}{5}$R．

解答 解：如圖，作O點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′為弧ADB所在圓的圓心，
連結(jié)O′D，則O′D⊥EF，O′D=R，
∵ED：DF=3：2，
∴DF=$\frac{2}{5}$•2R=$\frac{4}{5}$R，
∴OD=$\frac{1}{5}$R，
在Rt△O′OD中，OO′=$\sqrt{（\frac{1}{5}R）^{2}+{R}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{5}$R，
∴OC=$\frac{1}{2}$O′O=$\frac{\sqrt{26}}{10}$R，
在Rt△AOC，AC=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{26}R}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{74}}{10}$R，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴AB=2AC=$\frac{\sqrt{74}}{5}$R．
即折痕長為$\frac{\sqrt{74}}{5}$R．
故答案為$\frac{\sqrt{74}}{5}$R．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理．