Question

如圖（1），拋物線(xiàn)y=x²-2x+k與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．[圖（2）、（3）為解答備用圖]
（1）k=______，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)y=x²-2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在拋物線(xiàn)y=x²-2x+k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，然后求出k的值即可；令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根據(jù)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，寫(xiě)出坐標(biāo)即可；
（2）把拋物線(xiàn)解析式整理成頂點(diǎn)式，然后寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再連接OM，分別求出△AOC、△MOC、△MOB的面積，然后根據(jù)四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）因?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)不明確，所以分①點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，設(shè)QB與y軸交于點(diǎn)E，根據(jù)∠CBO=45°可得∠EBO=45°，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法列式求出直線(xiàn)BE的解析式，與拋物線(xiàn)聯(lián)立求解即可；②點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，設(shè)CQ與x軸交于點(diǎn)F，根據(jù)∠CBO=45°可得∠CFB=45°，然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法列式求出直線(xiàn)CF的解析式，與拋物線(xiàn)聯(lián)立求解即可．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²-2x+k與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴k=-3，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，則x²-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x+1=0，x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0）；
故答案為：-3，（-1，0），（3，0）；

（2）如圖（1），∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M（1，-4），連接OM，
則△AOC的面積=AO•OC=×1×3=，△MOC的面積=OC•|x_M|=×3×1=，
△MOB的面積=OB•|y_M|=×3×4=6，
∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=++6=9；
（說(shuō)明：也可過(guò)點(diǎn)M作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，將四邊形ABMC的面積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和．）

（3）如圖（2），過(guò)點(diǎn)B作BQ₁⊥BC，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q₁、交y軸于點(diǎn)E，連接Q₁C，
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3），
∴直線(xiàn)BE的解析式為y=-x+3，
由，
 解得，，
∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-2，5）；
如圖（3），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q₂、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ₂，
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0），
∴直線(xiàn)CF的解析式為y=-x-3，
由，
 解得，，
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（1，-4）．
綜上，在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，（3）題需要注意分直角頂點(diǎn)的不同進(jìn)行討論求解．