Question

在邊長為1的正方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至B，C），過點(diǎn)E作弧BD的切線EF，交CD于F，H是切點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥EF，交AB于點(diǎn)G，連接AE．
（1）求證：△AGE是等腰三角形；
（2）設(shè)BE=x，△BGE與△CEF的面積比

S△BGE

S△CEF

=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在BC邊上（點(diǎn)B、C除外）是否存在一點(diǎn)E，使得GE=EF，若存在，求出此時(shí)BE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖連AH，根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到AH⊥EF，而GE⊥EF，由此得到GE∥AH，所以∠GEA=∠EAH，又根據(jù)已知條件可以證明△AHE≌△ABE，由此得到∠BAE=∠EAH，進(jìn)一步得到∠BAE=∠GEA，從而證明AE=EG，即△AGE是等腰三角形；
（2）設(shè)EH=EB=x，可以用x分別表示EC，CF=1-FD，根據(jù)切線長定理知道FD=FH，由此得到EF=EH+HF=x+FD，而在Rt△ECF中，EF²=EC²+CF²，可以得到（1-x）²+（1-FD）²=（x+FD）²，由此可以把DF也用x表示，又根據(jù)已知條件容易證明△GEB∽△EFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

BE

CF

=

BG

EC

，而

S△BGE

S△CEF

=

1 2 BE•BG

1 2 EC•CF

=

BE

CF

•

BG

EC

=(

BE

CF

)2={

x

2x 1+x

}2=

1

4

(1+x)2，這樣就求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）假設(shè)BC上存在一點(diǎn)E，能使GE=EF，則

GE

EF

=

BE

CF

=1，根據(jù)（2）可以得到x=

2x

1+x

，解此方程求出x，然后結(jié)合已知條件就可以判斷E點(diǎn)是否存在．

解答：解：（1）連AH，
∵AH⊥EF，GE⊥EF，
∴GE∥AH，
∴∠GEA=∠EAH，
∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，
∴△AHE≌△ABE，
∴∠BAE=∠EAH，
∴∠BAE=∠GEA，
∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．

（2）∵EH=EB=x，
∴EC=1-x，CF=1-FD，
∵FD=FH，
∴EF=EH+HF=x+FD，
在Rt△ECF中，EF²=EC²+CF²，
∴（1-x）²+（1-FD）²=（x+FD）²，整理得，（1+x）FD=1-x，
∴FD=

1-x

1+x

CF=1-FD=1-

1-x

1+x

=

2x

1+x

，
∵∠B=∠C，
又GE⊥EF，
∴∠GEB=∠FEC，
∴△GEB∽△EFC，
∴

BE

CF

=

BG

EC

，
∴

S△BGE

S△CEF

=

1 2 BE•BG

1 2 EC•CF

=

BE

CF

•

BG

EC

=(

BE

CF

)2={

x

2x 1+x

}2=

1

4

(1+x)2，
∴y=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

（0＜x＜1）．

（3）假設(shè)BC上存在一點(diǎn)E，能使GE=EF，
則

GE

EF

=

BE

CF

=1，
∴x=

2x

1+x

，解得x=0或x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=0或x=1是原方程的解但動(dòng)點(diǎn)E不能與B，C點(diǎn)重合，
故x≠0且x≠1，
∴BC邊上符合條件的E點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評：此題把圓的知識(shí)放在正方形的背景中，然后把等腰三角形，相似三角形，求函數(shù)關(guān)系式及自變量與函數(shù)值等知識(shí)結(jié)合起來，綜合性很強(qiáng)，學(xué)生要有比較好的解決問題的能力．