Question

如圖，在△ABE中，AB=AE，以AB為直徑的半圓O交AE于點C，交BE于點D，點F是CE的中點，連接CD、DF．
（1）求證：DC=DE；
（2）求證：FD與半圓O相切；
（3）若AB=10，cosB=

3

5

，求FD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠E=∠ECD，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得出DO∥AE，進(jìn)而得出OD⊥DF即可；
（3）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD的長，進(jìn)而利用勾股定理得出AD的長，進(jìn)而利用三角形面積求出即可．

解答：（1）證明：∵AB=AE，
∴∠B=∠E，
∵∠B=∠ECD，
∴∠E=∠ECD，
∴DC=DE；

（2）證明：連接DO，
∵∠1=∠B，∠2=∠B，
∴∠1=∠2，
∴DO∥AE，
∵DC=DE，F(xiàn)為CE中點，
∴DF⊥EC，
∴OD⊥DF，
∴FD與半圓O相切；

（3）解：連接AD，則∠ADB=90°，
∵AB=10，cosB=

3

5

，
∴

DB

AB

=

3

5

=

BD

10

，AE=AB=10，
解得：BD=6，
故AD=8，
∵AB=AE，AD⊥BE，
∴DE=BD=6，
∴S_△ADE=

1

2

×AD×ED=

1

2

×FD×AE=

1

2

×8×6=

1

2

×10×FD，
解得：FD=4.8．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．