Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙P的圓心P為（-3，a），⊙P與y軸相切于點C．直線y=-x被⊙P截得的線段AB長為4$\sqrt{2}$，則過點P的雙曲線的解析式為y=-$\frac{3\sqrt{2}+9}{x}$．

Answer 1

分析 作PH⊥x軸于H，交直線y=-x于E，作PD⊥AB于D，連結(jié)PC、PA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PC⊥y軸，則PC=PA=OH=3，再根據(jù)垂徑定理，由PD⊥AB得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，則可根據(jù)勾股定理計算出PD=1，接著利用直線y=-x為第二、四象限的角平分線可判斷△HOB和△PDE都為等腰直角三角形，所以EH=OH=3，PE=$\sqrt{2}$PD=$\sqrt{2}$，則P（-3，$\sqrt{2}$+3），然后利用待定系數(shù)法求過點P的雙曲線的解析式．

解答 解：作PH⊥x軸于H，交直線y=-x于E，作PD⊥AB于D，連結(jié)PC、PA，如圖，
∵⊙P與y軸相切于點C，
∴PC⊥y軸，
而P（-3，a），
∴PC=3，即⊙P的半徑為3，
∴PA=OH=3，
∵PD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PAD中，PD=$\sqrt{P{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=1，
∵直線y=-x為第二、四象限的角平分線，
∴∠HOB=45°，
易得△HOB和△PDE都為等腰直角三角形，
∴EH=OH=3，PE=$\sqrt{2}$PD=$\sqrt{2}$，
∴PH=PE+EH=$\sqrt{2}$+3，
∴P（-3，$\sqrt{2}$+3），
設(shè)過點P的雙曲線的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
把P（-3，$\sqrt{2}$+3）代入得k=-3（$\sqrt{2}$+3）=-3$\sqrt{2}$-9，
∴過點P的雙曲線的解析式為y=-$\frac{3\sqrt{2}+9}{x}$．
故答案為y=-$\frac{3\sqrt{2}+9}{x}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．