Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點O在AB上，以O(shè)為圓心的圓分別與邊AC、BC切于D，E兩點，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：連接OD，OE，
∵AC、BC為圓O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
又∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為矩形，
又∵OD=OE，
∴四邊形PDCE為正方形，
∴△ADO∽△ACB，
∴=，
設(shè)圓的半徑為r，則有OD=CD=OE=CE=r，
∴AD=AC-CD=4-r，
∴=，
解得：r=，
則圓O的半徑為．
分析：連接OD，OE，由AC與BC都為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直，OE與BC垂直，得到一對直角相等，再由∠C=90°，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形ODCE為矩形，再由OD=OE，利用鄰邊相等的矩形為正方形得到ODCE為正方形，設(shè)圓的半徑為r，得到OD=CD=r，由AC-CD表示出AD，再由三角形ADO與三角形ACB相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．