Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是AB中點(diǎn)，F(xiàn)D⊥ED于D，BE=

6

，AF=

3

，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：延長(zhǎng)DE到H，使DH=DE，連接FH，然后利用“邊角邊”證明△BED和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AH=BE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B=∠DAH，然后求出∠FAH=90°，再利用勾股定理列式求出FH，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得EF=FH．

解答：解：如圖，延長(zhǎng)DE到H，使DH=DE，連接FH，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
在△BED和△AHD中，

AD=BD ∠ADH=∠BDE DH=DE

，
∴△BED≌△AHD（SAS），
∴AH=BE=

6

，∠B=∠DAH，
∵∠C=90°，
∴∠FAH=∠BAC+∠DAH=∠BAC+∠B=180°-90°=90°，
∴由勾股定理得，F(xiàn)H=

AF2+AH2

=

( 3 )2+( 6 )2

=3，
∵FD⊥ED，DE=DH，
∴EF=FH=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．