Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2。
（1）求q關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線y=x²+px+q+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A、B不重合），且以AB為直徑的圓正好經(jīng)過該拋物線的頂點(diǎn)，求p，q的值。

Answer 1

解：（1）由題意得2²+2p+q+1=0，即q=-2p-5；
（2）∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）由題意，x²+px-2p-4=0，
解此方程得x₁=2，x₂=-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過頂點(diǎn)，
∴或，
解得p=-2或p=-6，
∴P=-2，q=-1或p=-6，q=7。