Question

（1）如圖（1），BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點(diǎn)D，請(qǐng)猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖（2），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點(diǎn)D．請(qǐng)猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖（3），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點(diǎn)D，請(qǐng)猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∠BDC=90°+∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=ACB，
∵∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-（180°-∠A），
即∠BDC=90°+∠A；

（2））∠BDC=90°-∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠DBC=∠EBC，∠DCB=FCB，
∴∠DBC=（180°-∠ABC），∠DCB=（180°-∠ACB），
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-（360°-∠ABC-∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-（360°-180°+∠A），
即∠BDC=90°-∠A；

（3）∠BDC=∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=ACE，
∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A．
分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠D=180°-（∠ABC+∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入即可得到∠BDC=90°+∠A；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠EBC，∠DCB=FCB，利用鄰補(bǔ)角的定義有∠DBC=（180°-∠ABC），∠DCB=（180°-∠ACB），則∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-（360°-∠ABC-∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入整理得到∠BDC=90°-∠A；
（3）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DCE=∠DBC+∠D，所以∠D=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義．