Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點(diǎn)，直線MN⊥AB于A，且分別與⊙O₁，⊙O₂交于M、N，P為線段MN的中點(diǎn)，又∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，求證：PQ₁=PQ₂．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,線段垂直平分線的性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：連接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥Q₁B于H，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可證到_^Q1、B、Q₂三點(diǎn)共線，MQ₁∥NQ₂，進(jìn)而可證到MQ₁∥PH∥NQ₂，然后根據(jù)平行線分線段成比例可得H為線段Q₁Q₂的中點(diǎn)，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)就可證到結(jié)論．

解答：解：連接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥Q₁B于H，如圖所示．
則由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：
∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，∠MAB=∠BQ₂N．
由圓周角定理可得：
∠ABQ₁=

1

2

∠AO₁Q₁，∠ANQ₂=

1

2

∠AO₂Q₂．
∵∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，
∴∠ABQ₁=∠ANQ₂，
∴∠ABQ₂+∠ABQ₁=∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，
∴Q₁、B、Q₂三點(diǎn)共線．
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：∠ABQ₁=∠ANQ₂，
∴∠Q₁MA+∠ANQ₂=∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，
∴MQ₁∥NQ₂．
∵AB⊥MN，
∴∠MAB=90°，
∴∠Q₁Q₂N=∠MAB=90°．
∵PH⊥Q₁B，即∠Q₁HP=90°，
∴∠Q₁HP=∠Q₁Q₂N，
∴PH∥NQ₂，
∴MQ₁∥PH∥NQ₂．
∵P為線段MN的中點(diǎn)，
∴H為線段Q₁Q₂的中點(diǎn)，
∴PH垂直平分Q₁Q₂，
∴PQ₁=PQ₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線分線段成比例、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行線分線段成比例是解決本題的關(guān)鍵，需要注意的是：只有證到Q₁、B、Q₂三點(diǎn)共線后，才能運(yùn)用平行線分線段成比例．