Question

如圖，已知正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP．
（1）若正方形邊長為4，求AP的長；
（2）求證：∠DAQ=45°-∠BAP．

Answer 1

（1）解：∵正方形ABCD中，DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，
∴設(shè)PC=x，則BP=4-x，AP=4+x，
在Rt△ABP中，
∵AB ²+BP ²=AP ²，
∴4 ²+（4-x）²=（4+x）²，
解得：x=1，
則BP=3，
AP=4+1=5；

（2）證明：延長AQ交BC的延長線于M，
在△ADQ和△MCQ中，
∵，
∴△ADQ≌△MCQ（ASA），
∴AD=CM，∠DAM=∠AMP，
∵AP=CD+CP，
∴AP=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠DAM=∠PAM，
∵∠DAP=90°-∠BAP，
∴2∠DAQ=90°-∠BAP，
∴∠DAQ=45°-∠BAP．
分析：（1）利用正方形性質(zhì)以及DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，得出PC=x，則BP=4-x，AP=4+x，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；
（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)首先得出△ADQ≌△MCQ，即可求出AD=CM，∠DAM=∠AMP，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠PAM=∠AMP，利用∠DAP=90°-∠BAP即可求出．
點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及利用全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，利用已知正確作出輔助線延長AQ交BC的延長線于M是解題關(guān)鍵．