Question

2．如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別為D、E、F
（1）求證：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）若BC=4，AC=5，AB=6，求AD、BE、CF的長；
（3）若BC=a，AC=b，AB=c，當∠C=90°時，求內(nèi)切圓的半徑長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OB，OC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，由三角形的內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD=AF，BD=BE，CE=CF，列方程組即可得到結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）如圖，連接OB，OC，
∵⊙O內(nèi)切于△ABC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；

（2）∵⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別為D、E、F，
∴AD+BD=6，AF+CF=5，BE+CE=4，
∵AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∴設(shè)AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x+z=5}\\{y+z=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3.5}\\{y=2.5}\\{z=1.5}\end{array}\right.$，
∴AD=3.5，BE=2.5，CF=1.5；

（3）由（2）可知：BE=$\frac{1}{2}$（c-b+a），CE=r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），
即內(nèi)切圓的半徑為$\frac{1}{2}$（a+b-c）．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和，切線的性質(zhì)，解方程組，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．