Question

關(guān)于x的方程kx2-(k+1)x+

k

4

=0有兩個實數(shù)根．（包括兩個相等實數(shù)根）
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
（3）若y=k（3+k）（x₁+x₂），k為自變量，用k表示y并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有兩個實數(shù)根得到其根的判別式大于等于零，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)；
（2）假設(shè)存在，利用兩實數(shù)根的倒數(shù)和為0求得k值即可；
（3）利用求二次函數(shù)最值的方法即可求得y的最大值；

解答：解：（1）由題意可知，k≠0且△=（k+1）2-4k•

k

4

≥0
∴k≥-

1

2

且k≠0．
（2）不存在．
設(shè)方程的兩根是x₁，x₂．x₁x₂=

1

4

≠0，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=0．
∴x₁+x₂=0.x1+x2=-

k+1

k

，
∴k+1=0
k=-1＜-

1

2

．
∴滿足條件的實數(shù)k不存在．
（3）y=（k+1）（k+3）=-k²-4k-3=（k+2）²+1，
∴對稱軸為k=-2，
∵k≥-

1

2

且k≠0
∴k=-

1

2

時有最大值y=（-

1

2

+2）²+1=

13

4

．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及二次函數(shù)的最值的知識，知識點較多，難度適中．