Question

以直角三角形ABC的兩直角邊AB、BC為一邊，分別向外作等邊三角形△ABE和等邊△BCF，連結(jié)EF、EC．試說(shuō)明：
（1）EF=EC；
（2）EB⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF=60°，再根據(jù)周角等于360°求出∠EBF=150°，從而得到∠EBF=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=EC；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠BEF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證．

解答：證明：∵△ABE和△BCF都是等邊三角形，
∴AB=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°+60°=150°，
∠EBF=360°-60°×2-90°=150°，
∴∠EBF=∠CBE，
在△BCE和△BFE中，

AB=BE ∠EBF=∠CBE BC=BF

，
∴△BCE≌△BFE（SAS），
∴EF=EC；

（2）∵△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF=EC，
∴EB⊥CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，根據(jù)角度相等求出∠EBF=∠CBE是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．