Question

如圖，已知直線y=mx+n交x軸于A，交y軸于b，且∠BAO=30°，P為上一點，PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，分別交AB于M，N，若AM•BN=，則k=________．

Answer 1

分析：過M作MQ垂直于x軸，過N作ND垂直于y軸，由三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形PEDN與PFQM為矩形，利用矩形的對邊相等得到MQ=PF，DN=PE，設(shè)P（a，b），即PE=a，PF=b，在直角三角形AMQ中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AM=2PF=2b，在直角三角形BDN中，利用銳角三角形函數(shù)定義表示出BN，由AM•BN=列出關(guān)系式，求出ab的值，將P坐標代入反比例解析式中得到k=ab，即可得出k的值．
解答：解：過M作MQ⊥x軸，過N作ND⊥y軸，
可得：四邊形MQFP與四邊形PEDN為矩形，
設(shè)P（a，b），
∴MQ=PF=b，DN=PE=a，
在Rt△AMQ中，∠BAO=30°，
∴MQ=PF=AM，即AM=2PF=2b，
在Rt△BDN中，∠OBA=60°，
∴sin60°===，
∴BN=PE=a，
又AM•BN=，
∴2PF•PE=，即PE•PF=ab=，
則k=ab=．
故答案為：
點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：反比例函數(shù)k的幾何意義，銳角三角函數(shù)定義，含30°直角三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì)，本題的突破點是作出輔助線MQ⊥x軸，ND⊥y軸．