Question

10．已知四邊形ABCD，AD∥BC，∠D=90°，∠BAD=120°，AC平分∠BAD，AB=2AD．
（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；
（2）如圖2，點(diǎn)E在BA的延長線上，在BC取一點(diǎn)F，連接EC，EF，且EC=EF，求證：BF=AE．
（3）連接AF，取CE的中點(diǎn)M，作MH⊥AF，探究MH⊥AF，探究：FH、AH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠B=∠BCA=∠BAC=60°即可．
（2）如圖2中，作FM∥AC交AB于M．首先證明△BFM是等邊三角形，再證明△EMF≌△CAE即可解決問題．
（3）如圖3中，連接AM、FM，在AB上截取AN=BF，連接CN交AF于K，在AF上截取AG=AM，連接GM．只要證明△AMF是含有60°的直角三角形即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠BAD=120°，AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=60°，
∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）證明：如圖2中，作FM∥AC交AB于M．

∵M(jìn)F∥AC，
∴∠BMF=∠BAC=60°，∠BFM=∠BCA=60°，
∴∠B=∠BMF=∠BFM=60°，
∴△BMF是等邊三角形，
∴FM=BF，∠EMF=120°=∠EAC，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∴∠EFM=180°-60°-∠EFC=120°-∠EFC，∠AEC=180°-60°-∠ECB=120°-∠ECF，
∴∠MFE=∠AEC，
∴△EMF≌△CAE，
∴AE=FM=BF，
∴AE=BF．

（3）結(jié)論：FH=3AH．
理由：如圖3中，連接AM、FM，在AB上截取AN=BF，連接CN交AF于K，在AF上截取AG=AM，連接GM．

∵AN=BF，AC=AB，∠ABF=∠CAN，
∴△ABF≌△CAN，
∴∠BAF=∠ACN，AF=NC，
∴∠AKN=∠CAK+∠ACN=∠CAK+∠BAF=60°，
∵AE=BF=AN，EM=MC，
∴AM∥NC，AM=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$AF，
∴∠FAM=∠AKN=60°，∵AG=AM，
∴△AGM是等邊三角形，
∴AG=GM=AM=$\frac{1}{2}$AF，∠AGM=∠AMG=60°，
∴GM=GF，
∴∠GFM=∠GMF=30°，
∴∠AMF=∠AMG+∠GMF=90°，
∵M(jìn)H⊥AF，
∴∠AHM=90°，∠AMH=30°，
∴AF=2AM，AM=2AH，
∴AF=4AH，
∴FH=3AH．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，善于用特殊圖形思考問題，找到問題的突破口，善于中考壓軸題．