Question

如圖，△ABC三個頂點都在⊙O上，CN為⊙O直徑，CM⊥AB，F為

AB

的中點，求證：CF平分∠NCM．

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：證明題

分析：延長CM交⊙O于E，連接EB、EN．先由CN為⊙O直徑，根據圓周角定理得出∠NEC=90°，由∠BMC=90°，可得EN∥AB，根據平行線的性質及圓周角定理得出∠ACE=∠BCN，再由F為

AB

的中點，根據圓周角定理得出∠BCF=∠ACF，然后利用等式的性質即可證明∠FCN=∠FCE，即CF平分∠NCM．

解答：證明：延長CM交⊙O于E，連接EB、EN．
∵CN為⊙O直徑，
∴∠NEC=90°，
∵CM⊥AB，
∴∠BMC=90°，
∴EN∥AB，
∴∠NEB=∠ABE，
∵∠ACE=∠ABE，∠NEB=∠BCN，
∴∠ACE=∠BCN，
∵F為

AB

的中點，
∴∠BCF=∠ACF，
∴∠BCF-∠BCN=∠ACF-∠ACE，
∴∠FCN=∠FCE，
故CF平分∠NCM．

點評：本題考查了圓周角定理及其推論，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．準確作出輔助線是解題的關鍵．