Question

15．如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若CF=1，$\frac{OA}{BA}$=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由AC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE與BC平行，根據(jù)O為DB的中點(diǎn)，得到E為DF的中點(diǎn)，即OE為三角形DBF的中位線，利用中位線定理得到OE為BF的一半，再由OE為DB的一半，等量代換即可得證；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和三角形相似的知識(shí)即可求出圓的半徑長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OE，
∵AC與圓O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O為DB的中點(diǎn)，
∴E為DF的中點(diǎn)，即OE為△DBF的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$BF，
又∵OE=$\frac{1}{2}$BD，
∴BF=BD；
（2）解：設(shè)OA=3x，則AB=5x，BO=2x，
∴BD=4x，
∵CF=1，BD=BF，
∴BC=4x-1，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∵$\frac{OA}{BA}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{3}{5}$，
即$\frac{2x}{4x-1}=\frac{3}{5}$，
解得，x=1.5，
∴2x=3，
即⊙O的半徑是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用三角形相似和銳角三角函數(shù)解答本題．