Question

如圖①所示△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若△ABC中，∠B=α，∠C=β（α＞β），請(qǐng)你根據(jù)第一問的結(jié)果大膽猜想∠DAE與α、β間的等量關(guān)系，不必說明理由；
（3）如圖②，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，F(xiàn)是AE上的任意一點(diǎn)，過F作FG⊥BC于G，且∠B=80°，∠C=30°，請(qǐng)你直接運(yùn)用（2）中結(jié)論求出∠EFG的度數(shù)；
（4）在（3）的條件下，若F點(diǎn)在AE的延長線上，其他條件不變，則∠EFG的大小發(fā)生改變嗎？請(qǐng)說明理由；
（5）如圖③，在△ABC中，點(diǎn)F是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)，∠ABC=60°，∠ACB=20°，且FG⊥BC于G，試求∠FEG的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，然后根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；
（2）把∠B、∠C的度數(shù)換成α、β解答即可；
（3）求出∠DAE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFG=∠DAE；
（4）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EFG=∠DAE；
（5）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FEG=∠CAE+∠ACB代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（2）∠DAE=

1

2

（180°-α-β）-（90°-α）=

1

2

（α-β），
故，∠DAE=

1

2

（α-β）；

（3）∠DAE=

1

2

（80°-30°）=25°；

（4）如圖，F(xiàn)點(diǎn)在AE的延長線上時(shí)，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥GF，
∴∠EFG=∠DAE=

1

2

（α-β），大小不發(fā)生變化；

（5）∵∠ABC=60°，∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°-60°-20°=100°，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×100°=50°，
∴∠FEG=∠CAE+∠ACB=50°+20°=70°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．