Question

（2013•歷城區(qū)一模）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC=2，∠BAD=60°，BD邊上有2013個不同的點p₁，p₂，…，p₂₀₁₃，過p_i（i=1，2，…，2013）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AD于F_i，則P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值為

2013

．

Answer 1

分析：連接AP₁，根據(jù)菱形性質(zhì)得出AB=AD，AO=OC=

1

2

AC=1，AC⊥BD，得出代表性三角形ABD，推出AD=AB=BD，根據(jù)三角形面積公式求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，求出即可．

解答：解：連接P₁A，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=

1

2

AC=

1

2

×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S_△ABD=S △ABP1+S △ADP1，
∴

1

2

×BD×AO=

1

2

AB×P₁E₁+

1

2

×AD×P₁F₁，
∴P₁E₁+P₁F₁=AO=1，
同理P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值為2013×1=2013，
故答案為：2013．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1．