Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè))，與y軸的正半軸交于點C，頂點為E．

(Ⅰ)若b＝2，c＝3，求此時拋物線頂點E的坐標；

(Ⅱ)將(Ⅰ)中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足

S_△BCE＝S_△ABC，求此時直線BC的解析式；

(Ⅲ)將(Ⅰ)中的拋物線作適當?shù)钠揭�，若平移后，在四邊�?I>ABEC中滿足S_△BCE＝2S_△AOC，且頂點E恰好落在直線y＝－4x＋3上，求此時拋物線的解析式

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)當，時，拋物線的解析式為，即．

　　∴拋物線頂點的坐標為(1，4)．2分

　　(Ⅱ)將(Ⅰ)中的拋物線向下平移，則頂點在對稱軸上，有，

　　∴拋物線的解析式為()．

　　∴此時，拋物線與軸的交點為，頂點為．

　　∵方程的兩個根為，，

　　∴此時，拋物線與軸的交點為，．

　　如圖，過點作EF∥CB與軸交于點，連接，則S_△BCE＝S_△BCF．

　　∵S_△BCE＝S_△ABC，

　　∴S_△BC＝S_△ABC．

　　∴．

　　設(shè)對稱軸與軸交于點，

　　則．

　　由EF∥CB，得．

　　∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．

　　∴．結(jié)合題意，解得．

　　∴點，．

　　設(shè)直線的解析式為，則

　　解得

　　∴直線的解析式為．　　6分

　　(Ⅲ)根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點為，(，)

　　則拋物線的解析式為，

　　此時，拋物線與軸的交點為，

　　與軸的交點為，．()

　　過點作EF∥CB與軸交于點，連接，

　　則S_△BCE＝S_△BCF．

　　由S_△BCE＝2S_△AOC，

　　∴S_△BCF＝2S_△AOC．得．

　　設(shè)該拋物線的對稱軸與軸交于點．

　　則．

　　于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．

　　∴，即．

　　結(jié)合題意，解得．①

　　∵點在直線上，有．②

　　∴由①②，結(jié)合題意，解得．

　　有，．

　　∴拋物線的解析式為．10分