Question

將Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，兩直角邊與兩坐標(biāo)軸重合放在第一象限內(nèi)，如果OA=3，OB=4．
（1）求斜邊AB所在直線的函數(shù)解析式；
（2）若將△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，求斜邊AB旋轉(zhuǎn)后所在直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC的放置方法有兩種，分類考慮OA和OB分別與x軸重合的情況，無論哪一種情形，都可以先分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解；
（2）圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的確定條件是：方向和角度，此問題中隱含了方向，由（1）中求出的直線AB的解析式分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況考慮．

解答：解：（1）設(shè)斜邊AB所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+b．
分兩種情況：①當(dāng)OA與x軸重合時(shí)，如圖1．
∵OA=3，OB=4，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸正半軸、y軸正半軸上，
∴A（3，0），B（0，4）．
將A（3，0），B（0，4）代入y=kx+b，
得

3k+b=0 b=4

，解得

k=- 4 3 b=4

．
∴斜邊AB所在直線的函數(shù)解析式為l₁：y=-

4

3

x+4；
②當(dāng)OB與x軸重合時(shí)，如圖2．
∵OA=3，OB=4，點(diǎn)B、點(diǎn)A分別在x軸正半軸、y軸正半軸上，
∴B（4，0），A（0，3）．
將B（4，0），A（0，3）代入y=kx+b，
得

4k+b=0 b=3

，解得

k=- 3 4 b=3

．
∴斜邊AB所在直線的函數(shù)解析式為l₂：y=-

3

4

x+3．
綜上可知，斜邊AB所在直線的函數(shù)解析式為l₁：y=-

4

3

x+4或l₂：y₂=-

3

4

x+3；

（2）將△ABC繞C點(diǎn)（即原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，直線AB也是繞C點(diǎn)（即原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)斜邊AB旋轉(zhuǎn)后所在直線的解析式為y=mx+n．
①對(duì)于直線l₁：y=-

4

3

x+4，如圖3．
如果繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為（0，-3），（4，0），
將（0，-3），（4，0）代入y=mx+n，
得

n=-3 4m+n=0

，解得

m= 3 4 n=-3

．
即直線l₁：y=-

4

3

x+4繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所在直線的解析式為y=

3

4

x-3；
如果繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為（0，3），（-4，0），
將（0，3），（-4，0）代入y=mx+n，
得

n=3 -4m+n=0

，解得

m= 3 4 n=3

．
即直線l₁：y=-

4

3

x+4繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所在直線的解析式為y=

3

4

x+3；
②對(duì)于直線l₂：y=-

3

4

x+3，如圖4．
如果繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為（3，0），（0，-4），
將（3，0），（0，-4）代入y=mx+n，
得

3m+n=0 n=-4

，解得

m= 4 3 n=-4

．
即直線l₂：y=-

3

4

x+3繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所在直線的解析式為y=

4

3

x-4；
如果繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為（-3，0），（0，4），
將（-3，0），（0，4）代入y=mx+n，
得

-3m+n=0 n=4

，解得

m= 4 3 n=4

．
即直線l₂：y=-

3

4

x+3繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所在直線的解析式為y=

4

3

x+4；
綜上可知，斜邊AB旋轉(zhuǎn)后所在直線的解析式為y=

3

4

x±3或y=

4

3

x±4．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式，旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，本題難度雖然不大，但是容易漏掉情況．