Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一動點，點D為弦AC的中點．
（1）當$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，求∠BAC的度數(shù)；
（2）若AB=4，當點C在⊙O上運動時，點D始終在一個圓上，請你確定這個圓的圓心以及這個圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠C=90°，由$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，可得∠B=2∠A，繼而求得答案；
（2）首先連接OD，由點D為弦AC的中點，易得OD是△ABC的中位線，繼而可得∠ADO=90°，即可知點D在以O(shè)A為直徑的圓上，則可求得答案．

解答 解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，
∴∠B=2∠A，
∴3∠A=90°，
解得：∠BAC=30°；

（2）連接OD，
∵OA=OB，點D為弦AC的中點，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴點D在以O(shè)A為直徑的圓上，
∵AB=4，
∴OA=2，
∴圓心是：OA的中點，這個圓的半徑為：1．

點評 此題考查了圓周角定理以及三角形中位線的性質(zhì)．注意準確作出輔助線，確定點D在以O(shè)A為直徑的圓上是解此題的關(guān)鍵．