Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．OE=OF．
（1）求證：AE=CF．
（2）當(dāng)EF與BD滿足什么位置關(guān)系時(shí)，四邊形BFDE是菱形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可．
（2）首先得出DO=BO，進(jìn)而利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形求出即可．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{EO=FO}\\{∠EOA=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF；

（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BFDE是菱形，
理由：由（1）△AEO≌△CFO，同理可得：△DEO≌△BFO，
則DP=BO，
∵EO=FO，∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，得出△AEO≌△CFO是解題關(guān)鍵．