Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)．

（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有△≌△；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△的面積是正方形面積的；

（3）若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再繼續(xù)在上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△恰為等腰三角形．

Answer 1

（1）證明：在正方形中，無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有

=  ∠=∠  =                  

         ∴△≌△

(2)解法一：△的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，

過(guò)點(diǎn)Q作⊥于,⊥于，則 =   

    

==

     ∴=

由△ ∽△得        解得

∴時(shí)，△的面積是正方形面積的  

解法二：以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，⊥軸于點(diǎn)．                                        

 ==     ∴=

     ∵點(diǎn)在正方形對(duì)角線上    ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

 ∴ 過(guò)點(diǎn)（0，4），(兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：

 當(dāng)時(shí)，   ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

     ∴時(shí)，△的面積是正方形面積的．

（3）若△是等腰三角形，則有 =或=或=

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，由四邊形是正方形知  =

       此時(shí)△是等腰三角形

      ②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)也重合，

此時(shí)=, △是等腰三角形               

③解法一：如圖，設(shè)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)到時(shí)，有=

∵ ∥       ∴∠=∠     

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠

∴ ==

∵=    =  =4

∴

即當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形      

    解法二：以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到時(shí)，

有=．

過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，⊥軸于點(diǎn),則

在△中，，∠=45°  

∴=°=

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

∴過(guò)、兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式：+4

當(dāng)=4時(shí)，   ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，8-4）．

∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到時(shí)，△是等腰三角形．