Question

如圖所示，在直角△ABC中，已知∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，
E為AC的中點，連結(jié)DE、OE．
（1）試猜想DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑是3cm，ED=4cm，求AB的長．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O的切線，
理由：連結(jié)OD，
∵O、E分別是BC、AC中點，
∴OE∥AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3，
又∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
在△OCE和△ODE中

∴△OCE≌△ODE（SAS）．
∴∠OCE=∠ODE，
又∵∠C=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）在Rt△ODE中，由OD=3，DE=4，由勾股定理得：OE=5，
又∵O、E分別是CB、CA的中點，
∴AB=2•OE=2×5=10，
∴AB的長是10cm．
分析：（1）求出∠2=∠3，證△OCE≌△ODE，推出∠ODE=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出OE，根據(jù)三角形中位線得出AB=2OE，代入求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，切線的判定，三角形的中位線，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．