Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCO的對(duì)角線(xiàn)BO在x軸上，若菱形ABCO的周長(zhǎng)為20，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，0），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，且△PBO的面積恰好等于菱形ABCO的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交x軸于點(diǎn)D，由四邊形ABCO為菱形，得到對(duì)角線(xiàn)互相平分且垂直，四條邊相等，由OB的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，由菱形周長(zhǎng)求出OC的長(zhǎng)，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，確定出C坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出解析式；
（2）分兩種情況考慮：若P在第一象限反比例圖象上，連接PB，PO，求出菱形的面積即為三角形PBO面積，根據(jù)BO的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出P的縱坐標(biāo)，代入反比例解析式即可確定出P的坐標(biāo)；若P′在第三象限反比例圖象上，連接OP′，BP′，同理確定出P′坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）連接AC，交x軸于點(diǎn)D，
∵四邊形ABCO為菱形，
∴AD=DC，OD=BD，且AC⊥OB，
∵菱形的周長(zhǎng)為20，B（-6，0），
∴AB=AO=BC=OC=5，OD=BD=3，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=4，
∴C（-3，-4），
把C坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=12，
則反比例解析式為y=$\frac{12}{x}$；
（2）分兩種情況考慮：
若P在第一象限反比例圖象上，連接PB，PO，
∵CD=AD=4，即AC=8，OB=6，
∴S_菱形ABCO=$\frac{1}{2}$AC•BO=24，
∵S_△PBO=$\frac{1}{2}$BO•|y_{P縱坐標(biāo)}|=S_菱形ABCO=24，OB=6，
∴y_{P縱坐標(biāo)}=8，
把y=8代入反比例解析式得：x=$\frac{3}{2}$，
此時(shí)P坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，8）；
若P′在第三象限反比例圖象上，連接OP′，BP′，
同理得到y(tǒng)_{P縱坐標(biāo)}=-8，
把y=-8代入反比例解析式得：x=-$\frac{3}{2}$，
此時(shí)P′（-$\frac{3}{2}$，-8），
綜上，P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，8）或（-$\frac{3}{2}$，-8）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，以及勾股定理，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．