Question

如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（0，3）。
（1）求此拋物線所對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）和（3，0），
設(shè)表達(dá)式為y=a（x+1）（x﹣3），
又點(diǎn)（0，3）在拋物線上，則3=a×1×（﹣3），
∴a=﹣1
故所求的表達(dá)式為：y=﹣（x+1）（x﹣3），
即y=﹣x²+2x+3；
（2）存在，
由y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）2+4知，
D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱軸為x=1，
①若以CD為底邊，則PC=PD
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3﹣b）²=（a﹣1）²+（4﹣b）²，
即b=4﹣a．     
又點(diǎn)P（a，b）在拋物線上，b=﹣a²+2a+3，
則 4﹣a=﹣a²+2a+3
整理，得a²﹣3a+1=0，
解，得（不合題意，舍去）
∴，
則，
P（）；
②若以CD為一腰，因點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，
由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（2，3）。