Question

在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線EF過點O，分別交AD、BC于E、F，如圖①
（1）求證：AE=CF；
（2）將圖①中?ABCD沿直線EF折疊，使得點A落在A₁處，點B落在B₁處，如圖②設FB₁交CD于點G，A₁B₁分別交CD、DE于點P、Q，求證：EQ=FG．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，

（2）由折疊的性質可得：AE=A₁E，
∵AE=CF，
∴A₁E=CF，
又∵∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
∴∠EQA₁=∠DQP=180°-∠D-∠DPQ=180°-∠B₁-∠DPQ=∠B₁GP=∠FGC，
在△EQA₁和△FGC中，
，
∴△EQA₁≌△FGC（AAS），
∴EQ=FG．
分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△AOE≌△COF，則可得AE=CF；
（2）由折疊的性質，易證得△EQA₁≌△FGC，則可得EQ=FG．
點評：此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想的應用．