Question

如圖，在⊙0中，點(diǎn)D、M、N分別為弧BC、弧AB、弧AC的中點(diǎn)，OH=DH，下列結(jié)論：①∠A=60°；
②MD⊥BN；③MN=BC；其中正確的為

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②
3. C.
   ①③
4. D.
   ②③

Answer 1

A
分析：連接OB，OC，由D為弧BC的中點(diǎn)，利用垂徑定理得到H為BC的中點(diǎn)，在直角三角形BOH中，由OH為OB的一半，得到∠OBC的度數(shù)為30°，由OB=OC，利用等邊對(duì)等角得到∠OCB也為30°，進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半求出∠A的度數(shù)，即可做出判斷；∠M對(duì)弧DN，及弧DC+弧CN，∠N對(duì)弧BM，而弧DC+弧CN+弧BM為圓周的一半，可得出兩角之和為直角，進(jìn)而確定出MD⊥BN；過O作OG垂直于MN，利用垂徑定理得到G為MN的中點(diǎn)，由∠BOC的度數(shù)求出∠MOB+∠MON+∠NOC的度數(shù)，再由弧BM=弧AM，弧AN=弧CN，得到∠MON為三角之和的一半，求出∠MON為120°，可得出∠OMG=∠OBH=30°，再由一對(duì)直角相等及半徑相等，利用AAS得到三角形OMG與三角形OBH全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到MG=BH，即可得到MN=BC．
解答：解：連接OB，OC，
∵D為弧BC的中點(diǎn)，OD為半徑，
∴OD⊥BC，H為BC的中點(diǎn)，
∵在Rt△OBH中，OH=HD=OD=OB，
∴∠OBC=30°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠BOC與∠A都對(duì)，
∴∠A=∠BOC=60°，故選項(xiàng)①正確；
∵D、M、N分別為弧BC、弧AB、弧AC的中點(diǎn)，
∴弧BD=弧CD，弧AM=弧BM，弧AN=弧CN，
∴弧CD+弧CN+弧BM=圓O的周長的一半，
∴∠M+∠N=90°，
∴MD⊥BN，選項(xiàng)②正確；
過O作OG⊥MN，連接OM，ON，
∵∠BOC=120°，
∴∠MOB+∠MON+∠NOC=240°，
∴∠MOB+∠NOC=120°，即∠MON=120°，
∵OM=ON，
∴∠OMG=30°，
∴∠OBH=∠OMG，
∵在△OBH和△OMG中，
，
∴△OBH≌△OMG（AAS），
∴MG=BH，
則MN=BC，選項(xiàng)③正確，
故選A
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．