Question

12．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，OA=2，OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D（點(diǎn)D在第一象限）；
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上存在一點(diǎn)N，使得A、D、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BPD的周長最��？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)對稱軸方程求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式可求出待定系數(shù)的值；OD平分∠BOC，那么直線OD的解析式為y=x，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況討論：①以AD為對角線的平行四邊形AMDN，此時(shí)MD∥x軸，則M、D的縱坐標(biāo)相同，由此可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；②以AD為邊的平行四邊形ADNM，由于平行四邊形是中心對稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標(biāo)的絕對值相等，可據(jù)此求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由于BD的長為定值，若△BPD的周長最短，那么PB+PD應(yīng)該最短，由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接AD，直線AD與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵OA=2，
∴A（-2，0）．
∵A與B關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
∴B（3，0），
∵A、B，兩點(diǎn)在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2-2b+c=0}\\{-\frac{9}{2}+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$；
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．
過D作DE⊥x軸于E．
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC，
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE，即x_D=y_D，
∴x=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，
解得x₁=2，x₂=-3（舍去），
∴D（2，2）；

（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對角線時(shí)，
∵M(jìn)D∥AN，即MD∥x軸，
∴y_M=y_D，
∴M與D關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
∴M（-1，2）；
②當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時(shí)，
∵平行四邊形ADNM是中心對稱圖形，△AND≌△ANM，
∴|y_M|=|y_D|，即y_M=-y_D=-2，
∴令-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=-2，即x²-x-10=0；
解得x=$\frac{1±\sqrt{41}}{2}$，
∴M（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，-2）或M（$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，-2）．
綜上所述：滿足條件的M點(diǎn)有3個(gè)，即M（-1，2）或M（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，-2）或M（$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，-2）；

（3）∵BD為定值，
∴要使△BPD的周長最小，只需PD+PB最�。�
∵A與B關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
∴PB=PA，只需PD+PA最�。�
連接AD，交對稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PA最�。�
由A（-2，0），D（2，2）可得直線AD：y=$\frac{1}{2}$x+1，
令x=$\frac{1}{2}$，得y=$\frac{5}{4}$，
∴存在點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），使△BPD的周長最小．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等，需注意的是第（2）問在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論，以免漏解．