Question

如圖，已知為等邊三角形，、、分別在邊、、上，且也是等邊三角形．

（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；

（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程．

 

Answer 1

【答案】

（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE，證明見解析（2）線段AE、BF、CD它們繞△ABC的內(nèi)心按順時針（或按逆時針）方向旋轉(zhuǎn)120°，可互相得到，線段AF、BD、CE它們繞△ABC的內(nèi)心按順時針（或按逆時針）方向旋轉(zhuǎn)120°,可互相得到，變化過程見解析

【解析】解：（1）圖中還有相等的線段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE          2分

事實上，∵△ABC與△DEF都是等邊三角形，

        ∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD          3分

        又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°

          ∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，                       4分

          ∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），

          所以AE=BF=CD，AF=BD=CE                                     5分

（2）線段AE、BF、CD它們繞△ABC的內(nèi)心按順時針（或按逆時針）方向旋轉(zhuǎn)120°，可互相得到，線段AF、BD、CE它們繞△ABC的內(nèi)心按順時針（或按逆時針）方向旋轉(zhuǎn)120°,可互相得到。                                                            7分

由已知條件，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出△AEF≌△BFD≌△CDE．從而推出AE=BF=CD，AF=BD=CE．