Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA，設(shè)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），P為x軸上一點(diǎn)，若S△ACD=

1

2

S△PAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），M為拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出所有符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到它的對稱軸方程，進(jìn)而可根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)來確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，已知OC=3OA，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．
（2）因?yàn)镾_△PAC=2S_△DAC，所以點(diǎn)P到AC的距離是點(diǎn)D到AC的距離的兩倍，先過D點(diǎn)作AC的平行線，求出這條平行線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）分別從MQ⊥DQ（△MDQ∽△BDO或△MDQ∽△DBO）與DM⊥QM（△DMQ∽△DOB或△DMQ∽△BOD）去分析，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與三角函數(shù)的知識，即可求得所有符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由y=ax²-2ax+b可得拋物線對稱軸為x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依題意有：

a+2a+b=0 b=3

，
解得

a=-1 b=3

；
∴y=-x²+2x+3，
答：拋物線的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）∵A（-1，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為：y=3x+3，
∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，
∴D（1，4），
設(shè)過點(diǎn)D與AC平行的直線的解析式為：y=3x+b，
把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：b=1，
∴y=3x+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-

1

3

，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為E（-

1

3

，0），
∴AE=

2

3

．
∵S_△PAC=2S_△DAC，
∴AP=2AE=

4

3

，
∴P（

1

3

，0）或（-

7

3

，0）．

（3）存在．
設(shè)M的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），
①過點(diǎn)M作MQ⊥拋物線的對稱軸于Q，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-x²+2x+3），
∴MQ=1-x，DQ=4-（-x²+2x+3）=x²-2x+1，
∵OB=3-1=2，OD=4，
若△MDQ∽△BDO，
則

DQ

DO

=

MQ

BO

，
即：

x2-2x+1

4

=

1-x

2

，
解得：x₁=1（舍去），x₂=-1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）；
若△MDQ∽△DBO，
則

DQ

BO

=

MQ

DO

，
即：

x2-2x+1

2

=

1-x

4

，
解得：x₃=1（舍去），x₄=

1

2

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，

15

4

）；
②若∠DMQ=90°，
過M作ME⊥DQ于E，
若△DMQ∽△DOB，
則∠MDQ=∠BDO，∠MQD=∠DBO，
∴tan∠MDQ=tan∠BDO，
即

ME

DE

=

OB

OD

，
∴

1-x

x2-2x+1

=

2

4

，
解得：x₁=1（舍去），x₂=-1，
∴DE=x²-2x+1=4，
∴ME=2，
同理可得：EQ=1，
∴QD=5，
∴OQ=1，
∴Q的坐標(biāo)為（1，-1）；
若△DMQ∽△BOD，
則∠MDQ=∠DBO，∠MQD=∠BDO，
∴tan∠MDQ=tan∠DBO，
即

ME

DE

=

OD

OB

，
∴

1-x

x2-2x+1

=

4

2

，
解得：x₃=1（舍去），x₄=

1

2

，
∴DE=x²-2x+1=

1

4

，
∴ME=

1

2

，
同理可得：EQ=1，
∴QD=

3

2

，
OQ=4-

3

2

=

5

2

，
∴Q的坐標(biāo)為（1，

5

2

）；
綜上，可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，0），（1，

15

4

），（1，-1），（1，

5

2

）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，利用三角形的面積和一次函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．