Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），

（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至AC，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).

（3）在y軸上找一點(diǎn)P，第一象限找一點(diǎn)Q，使得以O(shè)、B、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）△OAB的邊OB上有一動(dòng)點(diǎn)M，過M作MN//OA交AB于N，將△BMN沿MN翻折得△DMN，設(shè)MN=x，△DMN與△OAB重疊部分的面積為y，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出重疊部分面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）C；（3）（3，9）和（）；

（4）函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，y最大且最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)O（0，0）、A（7，0）、B（3，4）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)C結(jié)合圖象特征求解即可；

（3）過B作BE⊥OA于E，則BE＝4，OE＝3．如圖Ⅰ，分①若OB、OP為菱形一組鄰邊時(shí)，②若BO、BP為一組鄰邊時(shí)，③若OP、BP為一組鄰邊時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求解即可；

（4）依題得△OBA面積為28，當(dāng)MN＝＝時(shí)，點(diǎn)D剛好在OA上，分①當(dāng)0＜x≤時(shí)，②當(dāng)＜x＜5時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，由點(diǎn)O（0，0）、A（7，0）、B（3，4）求得所以拋物線為；

（2）C；

（3）過B作BE⊥OA于E，則BE＝4，OE＝3．

如圖Ⅰ，①若OB、OP為菱形一組鄰邊時(shí)，當(dāng)P1在y軸正半軸時(shí)，BQ₁∥y軸且BQ₁＝OB＝5，則Q₁為（3，9）；若P在y軸負(fù)半軸時(shí)，同理求得Q點(diǎn)為(3，－1)，但不在第一象限，不予考慮；②若BO、BP為一組鄰邊時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)Q在第二象限，不予考慮；③若OP、BP為一組鄰邊時(shí)，則BQ₂∥y軸，Q₂在BE上，設(shè)BQ₂＝m，則OQ₂＝m，EQ₂＝4－m，由Rt△OCQ₂列方程，解得，求得Q₂為（）；綜上所述滿足條件的Q點(diǎn)有（3，9）和（）；

（4）依題得△OBA面積為28，當(dāng)MN＝＝時(shí)，點(diǎn)D剛好在OA上，所以分兩種情況考慮：

①當(dāng)0＜x≤時(shí)，△DMN≌△BMN，△BMN∽△BOA，而，計(jì)算得；

當(dāng)時(shí)，y最大且最大值為．

②當(dāng)＜x＜5時(shí)，連結(jié)BD交MN于F、交OA于G，DM交OA于H，DN交OA于I，

由△BMN∽△BOA求得DF＝BF＝，F(xiàn)G＝4－，DG＝DF－FG＝，

再由△DHI∽△DMN得，計(jì)算得HI＝，

＝，

配方得；當(dāng)時(shí)，y最大且最大值為．

綜上所述，函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，y最大且最大值為．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．