Question

10．已知正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，連接AE，BF相交于點(diǎn)H，且AE⊥BF．
（1）如圖1，連接AC交BF于點(diǎn)G，求證：∠AGF=∠AEB+45°；
（2）如圖2，延長(zhǎng)BF到點(diǎn)M，連接MC，若∠BMC=45°，求證：AH+BH=BM；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)H為BM的三等分點(diǎn)，連接BD，DM，若HE=1，求△BDM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)余角 的性質(zhì)得到∠AEB=∠BFC，于是得到結(jié)論；
（2）過(guò)C作CK⊥BM于K，得到∠BKC=90°，推出四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，得到∠ABH=∠BCK，在△ABH根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）過(guò)E作EN⊥CK于N，得到四邊形HENK是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HE=CN=NK=1，求得CK=BH=2，得到BM=6，連接CH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°．求得∠DMB=90°，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FBC=90°，
∵∠FBC+∠BFC=90°
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠AGF=∠BFC+∠ACF，
∴∠AGF=∠AEB+45°；

（2）解：過(guò)C作CK⊥BM于K，
∴∠BKC=90°，
∵∠BMC=45°，
∴CK=MK，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠BCK，
在△ABH與△BCK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠BCK}\\{∠AHB=∠BKC=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCK，
∴BH=CK=MK，AH=BK，
∴BM=BK+MK=AH+BH；

（3）解：由（2）得，BH=CK=BH，
∵H為BM的三等分點(diǎn)，
∴BH=HK=KM，
過(guò)E作EN⊥CK于N，
∴四邊形HENK是矩形，
∴HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，
在△BHE與△ENC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠NEC}\\{BH=EN}\\{∠BHE=∠ENC}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△ENC，
∴HE=CN=NK=1，
∴CK=BH=2，
∴BM=6，
連接CH，
∵HK=MK，CK⊥MH，∠BMC=45°，
∴CH=CM，∠MCH=90°，
∴∠BCH=∠DCM，
在△BHC與△DMC中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=CM}\\{∠BCH=∠DCM}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BHC≌△DMC，
∴BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°
∴∠DMB=90°，
∴△BDM的面積=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．