Question

如圖1，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖2），將△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點A，D₁，D₂，B始終在同一直線上），當點D₁與點B重合時停止平移，在平移的過程中，C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、C₂B分別交于點F、P．
（1）當△AC₁D₁平移到如圖3所示位置時，猜想D₁E與D₂F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）設(shè)平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重疊（陰影）部分面積為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）D₁E=D₂F，
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F；
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10，
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5；
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x，
∵在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高為，△BC₂D₂的面積=5×=12，
∴設(shè)△BED₁的BD₁邊上的高為h，
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴△BC₂D₂∽△BED₁，
∴=，
∴h=，
∴△BED₁的面積=BD₁×h=×=（5-x）²，
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°；
又∵∠C₂=∠B，
∴△C₂FP∽△EC₁P，
∴C₂F：EC₁=PF：C₁P，
∴PC₂=x，PF=x；
∴△C₂FP的面積=x²，
故y=△BC₂D₂的面積-△BED₁的面積-△C₂FP的面積=-x²+x．（0≤x≤5）
分析：（1）根據(jù)題意，易得∠C₁=∠AFD₂；進而可得C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，又因為AD₁=BD₂，可得答案；
（2）因為在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因為C₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，由圖形可得陰影部分面積的組成，分別用x表示出其面積可得答案．
點評：本題結(jié)合圖形的平移考查相似三角形的有關(guān)知識，平移的基本性質(zhì)是：①平移不改變圖形的形狀和大��；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．本題關(guān)鍵是利用了對應(yīng)線段平行且相等的性質(zhì)．