Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點A（0，1），B（1，﹣2）和C（3，﹣2）．

（1）求二次函數(shù)表達式；

（2）若m＞n＞2，比較m²﹣4m與n²﹣4n的大小；

（3）將拋物線y=ax²+bx+c平移，平移后圖象的頂點為（h，k），若平移后的拋物線與直線y=x﹣1有且只有一個公共點，請用含h的代數(shù)式表示k．

Answer 1

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換．

【專題】計算題．

【分析】（1）把A、B、C點坐標分別代入y=ax²+bx+c得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；

（2）先確定拋物線對稱軸方程，然后二次函數(shù)的性質，當m＞n＞2，m²﹣4m+1＞n²﹣4n+1，整理得到m²﹣4m＞n²﹣4n；

（3）設平移后的拋物線的表達式為y=（x﹣h）²+k，由于直線y=x﹣1與拋物線有且只有一個公共點，則說明方程x﹣1=（x﹣h）²+k有兩個相等的實數(shù)根，然后把方程整理為一般式后△=0即可得到h與k的關系式．

【解答】解：（1）∵拋物線過點A（0，1），B（1，﹣2）和C（3，﹣2）．

∴，解得

∴拋物線解析式為y=x²﹣4x+1；

（2）∵y=（x﹣2）²﹣3，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∵m＞n＞2，

∴m²﹣4m+1＞n²﹣4n+1，

∴m²﹣4m＞n²﹣4n；

（3）設平移后的拋物線的表達式為y=（x﹣h）²+k，

∵直線y=x﹣1與拋物線有且只有一個公共點，

∴方程x﹣1=（x﹣h）²+k有兩個相等的實數(shù)根．

整理得x²﹣（2h+1）x+h²+k+1=0，

∴△=（2h+1）2﹣4（h²+k+1）=0，

∴k=h﹣．

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了拋物線與直線的交點問題．