Question

已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為12．

（1）①填空：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為    ；

      ②求二次函數(shù)的解析式；

（2） 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－2，1），點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上，∠ADP為銳角，且，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)E在x軸的正半軸上，，點(diǎn)O與點(diǎn)關(guān)于EC所在直線對(duì)稱．作⊥于點(diǎn)N，交EC于點(diǎn)M．若EM·EC＝32，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）①該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線；

②∵ 當(dāng)x=0時(shí)，y=－4，

∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

∵ ＝12，

∴ AB=6．

又∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，

∴ A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

∴ ．解得  ．

∴ 所求二次函數(shù)的解析式為．

   （2）如圖，作DF⊥x軸于點(diǎn)F．分兩種情況：

(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)，如圖所示．

由（1）得點(diǎn)A，點(diǎn)D，

∴ DF=1，AF=2．

在Rt△ADF中，，得．

延長(zhǎng)DF與拋物線交于點(diǎn)P₁，則P₁點(diǎn)為所求．

∴ 點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為．

(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，延長(zhǎng)P₁A至點(diǎn)G使得AG=AP₁，連接DG，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖所示．

可證 △GHA≌△．

∴ HA =AF，GH = P₁ F，GA =P₁A．

又∵ ，，

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)是．

在△ADP₁中，

，DP₁＝５，

，

∴ ．

∴ ．

∴ DA⊥．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

設(shè)DG與拋物線的交點(diǎn)為P₂，則P₂點(diǎn)為所求．

作DK⊥GH于點(diǎn)K，作P₂S∥GK交DK于點(diǎn)S．

設(shè)P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，．

由，，，得．

整理，得 ．

解得．

∵ P₂點(diǎn)在第二象限，

∴ P₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（舍正）．

綜上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2或．

（3）如圖，連接O，交CE于T．連接C．

∵ 點(diǎn)O與點(diǎn)關(guān)于EC所在直線對(duì)稱，

∴ O⊥CE，CE，∠CE ．

∴ C⊥E．

∵ ON⊥E，

∴ C∥N．

∴ C E ．

∴ ．

∴ ．

∵ 在Rt△ETO中，，，

在Rt△中，，，

∴ ．

∴

．

同理 ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ 點(diǎn)E在x軸的正半軸上，

∴ E點(diǎn)的坐標(biāo)為)．